Tập san giáo dục số 1 môn Toán - Sở GD&ĐT Nam Định

Nội dung tài liệu: Tập san giáo dục số 1 môn Toán - Sở GD&ĐT Nam Định

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH TẬP SAN GIÁO DỤC SỐ 1 Môn: Toán (Lưu hành nội bộ) Ban biên soạn: Hội đồng chuyên môn tỉnh Nam Định Nam Định, tháng 5 năm 2019 1
2. Biên soạn 1. Nguyễn Hoàng Cương – TTCM trường THPT chuyên Lê Hồng Phong 2. Nguyễn Trung Kiên – GV trường THPT chuyên Lê Hồng Phong 3. Nguyễn Trung Hiếu – PHT trường THPT A Hải Hậu 4. Lại Đức Thắng – TTCM trường THPT Giao Thủy 5. Nguyễn Hữu Thiêm – Phó trưởng phòng GDTrH Sở GDĐT 6. Nguyễn Quốc Tuấn – TTCM trường THPT Phạm Văn Nghị 7. Phạm Đình Hòe – chuyên viên phòng GDĐT Trực Ninh 8. Phạm Văn Thuận – GV trường THCS Nghĩa Hưng 9. Nguyễn Văn Tuyến – GV trường THCS Lê Quý Đôn 10. Phan Văn Vũ – GV trường THCS Trần Đăng Ninh Biên tập Nguyễn Hữu Thiêm – Phó trưởng phòng GDTrH Sở GDĐT Nguyễn Hoàng Cương – TTCM trường THPT chuyên Lê Hồng Phong 2
3. MỤC LỤC Phần Nội dung Trang Chuyên đề 1. Căn thức bậc hai 5 Chuyên đề 2. Hàm số, phương trình bậc hai 11 PHẦN I. Chuyên đề 3. Hệ phương trình 26 MỘT SỐ CHUYÊN Chuyên đề 4. Phương trình chứa căn 30 ĐỂ ÔN TẬP Chuyên đề 5. Hình học phẳng 40 Chuyên đề 6. Bất đẳng thức 51 57 Đề số 01 58 Đề số 02 59 Đề số 03 60 PHẦN II. Đề số 04 61 CÁC ĐỀ LUYỆN Đề số 05 THI VÀO LỚP 10 62 Đề số 06 63 Đề số 07 64 Đề số 08 65 Đề số 09 Hướng dẫn - Đáp án 67 3
4. LỜI GIỚI THIỆU Căn cứ Quy chế về tổ chức và hoạt động của Hội đồng chuyên môn Giáo dục Trung học ban hành kèm theo Quyết định số 481/QĐ-SGDĐT ngày 26 tháng 02 năm 2018 của Giám đốc Sở Giáo dục và Đào tạo (GDĐT); thực hiện Kế hoạch hoạt động Hội đồng chuyên môn Giáo dục trung học (GDTrH) giai đoạn 2018-2023 ban hành tại văn bản số 1487/SGDĐT-GDTrH ngày 30/10/2018, Hội đồng chuyên môn GDTrH của Sở GDĐT đã xây dựng tập san của 03 môn học Ngữ văn, Toán, tiếng Anh. Đây là tập san đầu tay của Hội đồng chuyên môn GDTrH sau một năm triển khai hoạt động; là thành quả lao động miệt mài, tâm huyết của các thành viên trong Hội đồng chuyên môn. Tập san môn Toán gồm 02 phần: Phần I. Các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 kèm bài tập thực hành. Phần II. Các đề luyện thi vào 10 (trường THPT chuyên Lê Hồng Phong và trường THPT không chuyên). Qua tập san, Hội đồng chuyên môn muốn chia sẻ với giáo viên trong toàn tỉnh (đặc biệt là giáo viên đang dạy các môn Ngữ văn, Toán, tiếng Anh) kinh nghiệm biên soạn chuyên đề ôn luyện cho học sinh thi vào lớp 10; kinh nghiệm biên soạn đề bài và đáp án theo định hướng đánh giá năng lực của học sinh. Tập san cũng là một tài liệu tham khảo bổ ích, thiết thực giúp các em học sinh đang học lớp 9 biết cách ôn tập, hệ thống kiến thức; biết cách tự học, tự rèn luyện kĩ năng làm bài thi theo định hướng yêu cầu nội dung của kì tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm học 2019-2020. Hội đồng chuyên môn trân trọng giới thiệu đến toàn thể cán bộ giáo viên và học sinh tỉnh Nam Định Tập san giáo dục số 1 môn Ngữ văn, môn Toán và môn Tiếng Anh (dưới dạng bản mềm pdf). Đây là tài liệu chuyên môn lưu hành nội bộ, trong quá trình sử dụng, Hội đồng chuyên môn rất mong nhận được những ý kiến đóng góp tích cực bằng văn bản (gửi về email: hdcmgdtrh.sgddtnamdinh@gmail.com) để Hội đồng chuyên môn tiếp tục hoàn thiện nâng cao chất lượng tập san. HỘI ĐỒNG CHUYÊN MÔN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH 4
5. PHẦN I - MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP Chuyên đề 1 CĂN BẬC HAI VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN I. Kiến thức 1) Định nghĩa, tính chất của căn bậc hai a) Căn bậc hai của số thực a không âm là số x sao cho x2 a. b) Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a. x 0 c) Với a 0 ta có x a 2 x a d) Với hai số a và b không âm, ta có a b a b . 2) ĐKXĐ của căn thức bậc hai: A có nghĩa (hay xác định hay tồn tại) A 0 3) Các công thức biến đổi căn thức 1. AA2 2. ABAB với AB, 0. AA 3. với A 0 và B 0. B B 4. ABAB2. với B 0. 5. ABAB 2 với AB, 0. ABAB 2 với AB 0; 0. A 1 6. AB với AB 0, B 0. BB A 1 7. AB với AB 0, B 0. BB II. Một số ví dụ Ví dụ 1. Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau: 3 2 a) 2x 3 b) c) d) x2 10 x 25. 2x 1 x 1 Hướng dẫn: 3 a) ĐKXĐ của biểu thức là 2x 3 0 x . 2 1 b) ĐKXĐ của biểu thức là 2x 1 0 x . 2 x 0 x 0 c) ĐKXĐ của biểu thức là . x 1 0 x 1 d) ĐKXĐ của biểu thức là x2 10 x 25 0 x 5 2 0 x 5. Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức sau: 5
6. 2 2 a) A 2 2 5 2 5 ; b) B 9 4 5 6 2 5; c) C 2 3 2 3; d) D a2 4 a 4 a 2 4 a 4 với 2 a 2. Hướng dẫn: 2 2 a) A 2 2 5 2 5 2 2 5 2 5 2 2 5 5 2 2 2 2. b) B 9 4 5 6 2 5 2 2 25 15 251525 51 2 5 5 1 3. c) Cách 1: C 2 3 2 3 2 2 2C 423423 13 13 1313 1 3 3 1 2 3 C 6. Cách 2: C 2 3 2 3 2 C 2 2323 2322323236 C 6 C 6 Vì CC 0 6. dDaaaa) 2 44 2 44 a 2 2 a 2 2 aaa 2222 a (vì 2 a 2 ). Do đó D 4. Ví dụ 3. Rút gọn biểu thức: 2 2 a) A ; 3 1 3 1 2 2 1 b):; B 5 3 5 3 3 2 3 2 3 c). C 2 3 2 3 Hướng dẫn: 6
7. 2 2 2 3 1 2 3 1 a) A 3 1 3 1 2. 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2 5 3 2 5 3 2 2 1 b) B : . 3 5 3 5 3 . 3 5 3 5 3 3 5 3 5 3 2 3. 3 6. 2 2 4 2 3 4 2 3 3 1 3 1 3 1 3 1 c) C 2 2 4 2 3 4 2 3 3 1 3 1 3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 4. 2 2 Ví dụ 4. Cho x 3 2. Tính giá trị của biểu thức B x5 3 x 4 3 x 3 6 x 2 20 x 2024. Hướng dẫn: Ta có x 3 2 x 2 3 x2 4 x 1 0. B x5 3 x 4 3 x 3 6 x 2 20 x 2024 x5 4 x 4 x 3 x 4 4 x 3 x 2 5 x 2 20 x 5 2019 x3 x 2 4 x 1 x 2 x 2 4 x 1 5 x 2 4 x 1 2019 x2 4 x 1 x 3 x 2 5 2019 Từ đó tính được B 2019. 1 7 1 Ví dụ 5. Cho biểu thức A : với x 0, x 1. x 2x 4 x 2 a) Rút gọn biểu thức A. 2 2 b) Tính giá trị của biểu thức với x . 2 3 2 3 Hướng dẫn: a) Với x 0, x 1 ta có 1 7 1 1 7 A : . x 2 x 2x 4 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 7 x 5 . x 2 . x 2 x 2 x 2 2 2 4 4 4 4 b) Ta có x 2 2 2 3 2 3 4 2 3 4 2 3 1 3 1 3 2 2 3 1 3 1 2 thỏa mãn điều kiện. 3 1 3 1 x 5 2 5 8 3 2 Thay vào biểu thức A ta được A . x 2 2 2 2 x x 2 2 1 Ví dụ 6. Cho biểu thức B : với x 0, x 1. x 1 1 x x x x x x 1 a) Rút gọn biểu thức B. 7
8. 1 b) Tìm x để B . 2 Hướng dẫn: a) Với x 0, x 1 ta có: x x 2 2 1 B : x 1 1 x x x x x x 1 x x 2 2 1 : x 1 x 1x 1 x x x 1 x 1 x x x 1 2 x 1 2 xx 2 x x x 1 x : x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 2 x x 1 x b) Theo câu a) ta có B với x 0, x 1. x 1 1x 1 B 2 x x 1 0 x 1 2 x 1 0 2x 1 2 1 Từ đó tìm được x (thỏa mãn điều kiện). 4 2 x 4 x 8 Ví dụ 7. Cho biểu thức B với x 0, x 16. x 3 x 4 x 1 x 4 a) Rút gọn B. b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức B nhận giá trị nguyên. c) Tìm x để giá trị của B là một số nguyên. Hướng dẫn: 3 x a) Rút gọn biểu thức B ta được B . x 1 3x 3 b) Ta có B 3 với x 0, x 16. x 1 x 1 Trường hợp 1: x không là số chính phương x 1 là số vô tỉ B không nhận giá trị nguyên. Trường hợp 2: x là số chính phương x 1 là số nguyên. 3 B nhận giá trị nguyên khi nhận giá trị nguyên x 1 là ước dương của 3 x 1 )x 1 1 x 0 (thỏa mãn điều kiện) )x 1 3 x 4 (thỏa mãn điều kiện) Kết luận: x 0; x 4. 3x 3 c) Ta có B 3 với x 0, x 16. Suy ra B 3. x 1 x 1 Dễ chứng minh được B 0. Từ đó suy ra 0 B 3. 8
9. 1  Mà B nhận giá rị nguyên B 0;1;2. Từ đó tìm được x 0; ;4  . 4  III. Bài tập 1. Rút gọn các biểu thức sau A = 15 216 33 12 6 B = 3 5 3 5 C = 21 6 6 21 6 6 D = 4 10 2 5 4 10 2 5 2. So sánh a) A 2020 2019 và B 2018 2017; b) C 2020 2018 và D 2 2019. 2x 2 3. Cho hai biểu thức A x 2 và B với x 0; x 4 2 x 2 x x a) Tính giá trị của biểu thức A với x 6 2 5. b) Rút gọn biểu thức B. c) Tìm tất cả giá trị nguyên của x để PAB . nhận giá trị nguyên. 3. Tính giá trị của biểu thức: a) A x2 2 x y 3 y với x 5 2; y 6 2 5. b) B x y với x, y thỏa mãn x x2 2019 y y 2 2019 2019. c) C x3 3 x 2015 với x 32 5 3 2 5 . x 2 x 2x x 2(x 1) 4. Cho biểu thức P = x x 1 x x 1 a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P. 2 x c) Tìm x để biểu thức Q nhận giá trị là số nguyên. P 2x x 3 x 3 x 1 5. Cho các biểu thức A và B với x 0, x 9. x 3 x 3 x 9 x 3 a) Tính giá trị của biểu thức B tại x 11 6 2. b) Rút gọn biểu thức A. A 2 c) Đặt C .Tìm giá trị của x để C . B 3 4x 7 d) Đặt D x C Tìm giá trị nhỏ nhất của D. x 3 Chuyên đề 2. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, lập hệ phương trình I. Tóm tắt lý thuyết Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình, lập hệ phương trình: Bước 1. Lập phương trình (hệ phương trình) - Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn; 9
10. - Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết; - Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2. Giải phương trình (hệ phương trình) vừa tìm được. Bước 3. Kết luận: Nhận định kết quả và trả lời. II. Ví dụ 3 Ví dụ 1. Một số có hai chữ số. Tỉ số giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị là . 4 Nếu cộng thêm 2 vào chữ số hàng chục thì được một chữ số bằng chữ số hàng đơn vị. Tìm số đã cho. Hướng dẫn: Gọi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị của số cần tìm lần lượt là a và b a, b ,0 a , b 9 . 3 Tỉ số giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị là nên ta có phương trình (1): 4 a 3 . b 4 Nếu cộng thêm 2 vào chữ số hàng chục thì được một chữ số bằng chữ số hàng đơn vị nên ta có phương trình (2): a 2 b . a 3 a 6 Giải hệ phương trình b 4 ta được (thỏa mãn điều kiện của ẩn) b 8 a 2 b Vậy số cần tìm là 68. Ví dụ 2. Một đội thợ mỏ theo kế hoạch phải khai thác 50m3 than mỗi ngày. Nhưng khi thực hiện mỗi ngày đội khai thác được 60m3 . Do đó đội đã hoàn thành trước kế hoạch 2 ngày và vượt mức 20m3 . Tính khối lượng than đội phải khai thác theo kế hoạch. Hướng dẫn: Khối lượng than Khối lượng than khai Thời gian hoàn thành khai thác (m3) thác 1 ngày (m3) công việc (ngày) Theo kế x 50m3 x hoạch 50 Thực tế x 20 60m3 x 20 60 x x 20 Giải phương trình 2 ta được x 700 (thỏa mãn điều kiện của ẩn) 50 60 Kết luận: Khối lượng than đội phải khai thác theo kế hoạch là x 700 m3 . Ví dụ 3. Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ và ngược dòng từ bến B đến bến A mất 5 giờ. Tính khoảng cách giữa hai bến, biết vận tốc của dòng nước là 2km / h . Hướng dẫn: Quãng đường ()km Vận tốc km/ h Thời gian ()h Xuôi dòng x x 4 4 Ngược dòng x x 5 5 x x Giải phương trình 4 ta được x 80 (thỏa mãn điều kiện của ẩn) 4 5 Kết luận: Khoảng cách giữa hai bến là 80km . 10
11. Ví dụ 4. Hai đội công nhân cùng xây một ngôi nhà thì sẽ hoàn thành trong 24 ngày. Mỗi 3 ngày phần việc làm được của đội I bằng phần việc đội II làm được. Hỏi nếu làm một 2 mình thì mỗi đội sẽ xây xong ngôi nhà trong bao nhiêu ngày? Hướng dẫn: Đội I Đội II Cả hai đội Số ngày x y 24 Phần việc làm 1 1 1 trong 1 ngày x y 24 1 3 1 . x2 y x 40 Giải hệ phương trình ta được (thỏa mãn điều kiện của ẩn) 1 1 1 y 60 x y 24 Kết luận: Đội I xây xong ngôi nhà trong 40 ngày và đội II xây xong ngôi nhà trong 60 ngày. III. Bài tập: 1. Một người dự định đi từ Hà Nội về Nam Định. Ban đầu người đó dự định đi xe máy với vận tốc 50km/h. Nhưng sau đó người đó lại đi ô tô với vận tốc 60km/h nên đã đến sớm hơn dự định là 30 phút. Tính quãng đường từ Hà Nội - Nam Định. 2. Một ca nô chạy xuôi dòng từ A đến B hết 1 giờ 30 phút và ngược dòng từ B đến A hết 2 giờ. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết rằng quãng sông AB dài 50 km và vận tốc dòng nước là 2 km/h. 3. Một đội máy kéo dự định mỗi ngày cày được 40 ha. Khi thực hiện mỗi ngày đội cày được 52 ha. Vì vậy đội không những cày xong trước thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm được 4 ha nữa. Tính diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch. 4. Theo kế hoạch hai tổ sản xuất phải làm được 900 chi tiết máy trong một thời gian qui định. Do cải tiến kĩ thuật nên tổ I vượt mức 20%, tổ II vượt mức 10% so với kế hoạch. Vì vậy hai tổ sản xuất được 1010 chi tiết máy. Hỏi theo kế hoạch mỗi tổ sản xuất pahir làm bai nhiêu chi tiết máy? 5. Hiệu của hai số bằng 12. Nếu chia số bé cho 7 và số lớn cho 5 thì thương thứ nhất bé hơn thương thứ hai là 4. Tìm hai số. 6. Một ô tô du lịch đi từ A đến C. Cùng một lúc từ địa điểm B nằm trên đoạn đường AC, có một ô tô vận tải cùng đi đến C. Sau 5 giờ hai ô tô gặp nhau tại C. Hỏi ô tô du lịch đi từ A đến B mất bao lâu, biết rằng vận tốc của ô tô vận tải bằng 0,6 vận tốc của ô tô du lịch. 7. Cho một lượng dung dịch chứa 10% muối. Nếu pha thêm 200 g nước thì được một dung dịch 6%. Hỏi có bao nhiêu gam muối trong dung dịch đã cho? Chuyên đề 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI - PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Khái niệm hàm số Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số . Kí hiệu là y f x , y g x , 11
12. Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì hàm số y được gọi là hàm hằng. 2. Đồ thị của hàm số Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng x; f x được gọi là đồ thị hàm số y = f x . 3. Tập xác định của hàm số TXĐ của hàm số y f x là tập hợp các giá trị của biến để biểu thức f x có nghĩa. 4. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến Cho hàm số y f x xác định với mọi x thuộc . a) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng của f x cũng tăng theo thì ta nói hàm số y f x là hàm số đồng biến trên . (hay với x1, x 2 bất kỳ thuộc ; nếu x1 x 2 mà f x1 f x 2 thì hàm số y f x đồng biến trên ) b) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng của f x lại giảm đi thì ta nói hàm số y f x là hàm số nghịch biến trên . (hay với x1, x 2 bất kỳ thuộc ; nếu x1 x 2 mà f x1 f x 2 thì hàm số y f x nghịch biến trên ) 5. Hàm số bậc nhất y ax b, a 0 a) Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y ax b , trong đó a, b là các số cho trước , a 0. Hàm số bậc nhất xác định với mọi x thuộc b)Tính chất hàm số bậc nhất: Hàm số đồng biến trên khi a 0 , nghịch biến trên khi a 0 . Chú ý: Khi a 0 , ta có hàm số y b là hàm hằng. c) Đồ thị hàm số bậc nhất: Đồ thị hàm số bậc nhất y ax b, a 0 là một đường thẳng. Ta cũng gọi đồ thị của hàm số y ax b là đường thẳng y ax b . Đường thẳng này có các đặc điểm sau + Cắt trục tung tại điểm 0;b , b gọi là tung độ gốc của đường thẳng. b + Cắt trục hoành tại điểm ;0 . a Chú ý : Khi b 0, đồ thị đi qua gốc tọa độ. Nếu a 0 thì đường thẳng “đi lên” từ trái qua phải, nếu a 0 thì đường thẳng “đi xuống” từ trái qua phải. d) Vị trí tương đối của hai đường thẳng Cho hai đường thẳng y ax b, a 0 và đường thẳng y a' x b ', a ' 0 + Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi a a ' và b b' + Hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi a a ' và b b' + Hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi a a ' Trường hợp riêng : Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi a. a ' 1 e) Hệ số góc của đường thẳng 12
13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng y ax b, a 0 . Khi ta nói góc là góc tạo bởi đường thẳng y ax b và chiều dương trục Ox . Ta gọi a là hệ số góc của đường thẳng y ax b + Nếu a 0 thì là góc nhọn và a càng lớn thì góc càng lớn. + Nếu a 0 thì là góc tù và a càng lớn thì góc càng lớn. + Nếu a 0 thì tan a . Nếu a 0 thì tan a . 6. Hàm số y ax2 ( a 0) a) Hàm số y ax2 xác định với mọi x thuộc và có tính chất sau + Nếu a 0 thì hàm số đồng biến khi x 0 và nghịch biến khi x 0 . + Nếu a 0 thì hàm số đồng biến khi x 0 và nghịch biến khi x 0 . b) Lưu ý về giá trị của hàm số + Nếu a 0 thì ta có y ax2 0 với mọi x ( y 0 khi y 0 ), nên giá trị nhỏ nhất của hàm số là y 0 đạt được khi x 0 . + Nếu a 0 thì ta có y ax2 0 với mọi x ( y 0 khi y 0 ), nên giá trị lớn nhất của hàm số là y 0 đạt được khi x 0 c) Đồ thị của hàm số y ax2 a 0 Đồ thị hàm số y ax2 a 0 là một đường parabol đỉnh O, nhận trục Oy làm trục đối xứng. + Nếu a 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành và nhận O là điểm thấp nhất của đồ thị. + Nếu a 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành và nhận O là điểm cao nhất của đồ thị. 7. Một số đường thẳng có phương trình đặc biệt a) Đường thẳng có dạng y m + Nếu m 0 thì y m là phương trình của đường thẳng song song với trục hoành. + Nếu m 0 thì y 0 là phương trình của trục hoành. b) Đường thẳng có dạng x n + Nếu n 0 thì x n là phương trình của đường thẳng song song với trục tung. + Nếu n 0 thì x 0 là phương trình của trục tung. B. BÀI TẬP 1) Tính đơn điệu của hàm số a) Kiến thức cần áp dụng : Tính đồng biến, nghịch biến của từng loại hàm số. b) Ví dụ Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y m- 2018 x 2019 nghịch biến trên ? Hướng dẫn Hàm số y m- 2018 x 2019nghịch biến trên m- 2018 0 m 2018 Ví dụ 2: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến khi x dương và nghịch biến khi x âm? A. y 1 3 x2 B. y 2018 x 2019. C. y 2 3 5 x2 D. 1 2 y 1 x 3 13
14. Ví dụ 3: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến khi x < 0 A. y ( 2 1) x2 B y 4 x2 . C. y (2 5) x2 D. y 2 x 1 (chú ý : Hàm số bậc nhất chỉ luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến Do đó ta chỉ cần xét xem hàm số bậc hai nào có hệ số a dương) Ví dụ 4: Cho f x 3 a 6 x2 và g x 2 a – 3 x2 . Tìm a để khi x < 0 thì hàm số y f x đồng biến và hàm số y g x nghịch biến. 3a 6 0 3 Hướng dẫn Yêu cầu bài toán a 2 2a – 3 0 2 2) Vẽ đồ thị của hàm số 2.1. Vẽ đồ thị của hàm số y=ax+b, (a 0) a) Phương pháp + Nếu b 0, khi đó ta có y = ax Xác định một điểm thuộc đồ thị của hàm số mà khác với gốc tọa độ, chẳng hạn điểm A 1; a .Vẽ đường thẳng OA ta được đồ thị của hàm số. + Nếu b 0 - Xác định hai điểm phân biệt thuộc đồ thị của hàm số. Xác định điểm A 0; b là giao điểm với trục tung. b Xác định điểm B( ;0) là giao điểm với trục hoành. a -Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A và B ta được đồ thị của hàm số. b) Ví dụ: Vẽ đồ thị của hàm số y = x+ 2 - Cho x = 0 y =2 ; ta được điểm A 0;2 là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung. Cho y 0 x 2; ta được điểm B 2;0 là giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành. - Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A 0;2 và B 2;0 ta được đồ thị của hàm số y = x+2 2.2. Vẽ đồ thị của hàm số y ax2 ( a 0) a) Phương pháp - Lập bảng một số cặp giá trị tương ứng giữa x và y (thường là 5 hoặc 7 cặp giá trị ; trong đó x lấy giá trị 0 và các giá trị là các số đối nhau gần 0), chẳng hạn x -2 -1 0 1 2 y = ax2 4a A 0 a 4a - Biểu diễn các cặp giá trị tương ứng giữa x và y trong bảng trên mặt phẳng tọa độ - Vẽ đường cong đi qua các điểm đó ta được đồ thị của hàm số đó cho. b) Ví dụ : Vẽ đồ thị của hàm số y 2 x2 - Bảng một số cặp giá trị tương ứng giữa x và y 14
15. y f(x)=2x^2 9 Series 1 8 x -2 -1 0 1 2 7 y = 2x2 8 2 0 2 8 6 5 4 - Đồ thị của hàm số đó cho là một parabol đi qua các điểm 3 (-2; 8); (-1; 2); (0; 0); (1; 2) và (2; 8). 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -1 -2 3) Viết phương trình của đường thẳng (d) thỏa mãn điều kiện cho trước a) Biết d song song với đường thẳng d' : y ax b , a 0 và đi qua điểm A x0; y 0 Phương pháp - Vì đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’) nên phương trình của đường thẳng (d) có dạng d : y ax b ', b ' b - Vì đường thẳng (d) đi qua điểm A x0; y 0 nên ta có : y0 ax 0 b' . Từ đó suy ra b', ta so sánh với điều kiện b’ b. - Kết luận về phương trình của đường thẳng (d). Ví dụ 1: Viết phương trình của đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 2x + 1 và đi qua điểm A(1; 2). Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua B 1;1 có hệ số góc k 2. b) Biết (d) đi qua hai điểm A x1;,; y 1 B x 2 y 2 Phương pháp - Phương trình của đường thẳng (d) có dạng y ax b - Vì d đi qua điểm A x1; y 1 nên ta có : y1 ax 1 b Vì d đi qua điểm B x2; y 2 nên ta có : y2 ax 2 b y1 ax 1 b Do đó ta có hệ phương trình y2 ax 2 b - Giải hệ phương trình trên ta tìm được a và b , sau đó kết luận về phương trình của đường thẳng d . Ví dụ : Xác định hàm số y ax b , biết rằng đồ thị của hàm số đi qua hai điểm AB 1; 3 , 1; 1 . Hướng dẫn - Vì đồ thị của hàm số y ax b đi qua điểm A 1; 3 nên ta có : 3 a .1 b a b 3 1 Đồ thị của hàm số y ax b đi qua điểm B 1; 1 nên ta có : 1 a 1 b a b 1 a b 3 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : a b 1 15
16. - Giải hệ phương trình trên ta được a 2; b 1 Vậy hàm số cần tìm là y 2 x 1 (Lưu ý : Nếu biết đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng y0 thì có nghĩa là đồ thị hàm số đi qua điểm 0;y0 . Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng x0 có nghĩa là đồ thị của hàm số đi qua điểm x0;0 ) 4) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng a) Phương pháp: Dựa vào điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau để làm. Lưu ý : - Muốn tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng, ta giải hệ phương trình gồm hai phương trình của hai đường thẳng đó. - Muốn tìm điều kiện để ba đường thẳng đồng quy, trước hết ta tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó có phương trình cụ thể, sau đó ta tìm điều kiện để đường thẳng còn lại cũng đi qua giao điểm của hai đường thẳng đó. b) Ví dụ: Xác định m để hai đường thẳng y m2 2 x m 3 và y 2 m 2 x 2 m 1 song song với nhau. Hướng dẫn Điều kiện để hai đường thẳng đó cho song song với nhau là : m2 2 2 m 2 m 2 2 m 0 m 3 2 m 1 m 2 m 0 m 2 m 0 m 2 Vậy với m 0 thì hai đường thẳng đó cho song song với nhau. 5) Xét vị trí tương đối của đường thẳng và parabol a) Phương pháp Tọa độ giao điểm của parabol y ax2 ( a 0) và đường thẳng y mx n là nghiệm của hệ phương trình y mx n y mx n y mx n (I) 2 2 2 y ax ax mx n ax mx n 0 * + Nếu phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt thì hệ (I) có hai nghiệm phân biệt. Khi đó đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt, hai nghiệm của hệ (I) chính là tọa độ của hai giao điểm. + Nếu phương trình (*) có nghiệm kép thì hệ (I) có nghiệm duy nhất. Khi đó đường thẳng và parabol tiếp xúc với nhau, nghiệm duy nhất của hệ (I) chính là tọa độ của tiếp điểm + Nếu phương trình (*) vô nghiệm thì hệ (I) vô nghiệm. Khi đó đường thẳng và parabol không có điểm chung. b) Ví dụ Ví dụ 1. Tìm tọa độ giao điểm của parabol y 2 x2 P và đường thẳng y 2 x 4 D . Hướng dẫn 16
17. Hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (D) là nghiệm của phương trình : 2 2x 2 x 4.Giải phương trình này ta được hai ngiệm x1 1; x 2 2 Vậy tọa độ các hai giao điểm của (P) và (D) là 1;2 và 2;8 . Ví dụ 2. Với giá trị nào của a thì đường thẳng d : y x a tiếp xúc với parabol P : y x2 1 1 1 1 A. a . B. a . C. a . D. a . 4 4 4 4 Ví dụ 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua M 1;2 và tiếp xúc với parabol y 2 x2 . Hướng dẫn Phương trình đường thẳng cần lập có dạng: y ax b d . M 1;2 d 2 a b 1 d tiếp xúc với đường cong y 2 x2 khi và chỉ khi phương trình 2x2 ax b có nghiệm kép a2 8 b 0 2 a 4 Từ (1) và (2) ta có . Vậy phương trình đường thẳng là y 4 x 2 b 2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho parabol P : y 2 x2 và đường thẳng d : y x m 1( với m là tham số). 1) Vẽ parabol P 2) Tìm tất cả các giá trị của m để P cắt d có đúng một điểm chung. 3) Tìm tọa độ các điểm thuộc P có hoành độ bằng hai lần tung độ. 2 Bài 2. Cho hàm số y x có đồ thị P và hàm số y 4 x m có đồ thị dm 1) Vẽ đồ thị P 2) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho dm và P cắt nhau tại hai điểm phân biệt, trong đó tung độ của một trong hai giao điểm đó bằng 1. Bài 3. Tìm a và b để đường thẳng d : y a 2 x b có hệ số góc bằng 4 và đi qua điểm M 1;  Bài 4. Cho Parabol P y x2 và đường thẳng (d): y ( m 1) x m 4 (tham số m ) 1) Với m 2 , tìm tọa độ giao điểm của P và d 2) Tìm m để d cắt P tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung. Bài 5. Trong hệ toạ độ Oxy , gọi P là đồ thị của hàm số y x2 và d là đồ thị của hàm số y x 2 1) Vẽ các đồ thị P và d . Từ đó , xác định toạ độ giao điểm của P và d bằng đồ thị . 17
18. 2) Tìm a và b để đồ thị của hàm số y ax b song song với d và cắt P tại điểm có hoành độ bằng 1. Bài 6. Cho parapol P : y x2 và đường thẳng d : y 2 x m2 1 ( m là tham số). 1/ Xác định tất cả các giá trị của m để d song song với đường thẳng d' : y 2 m2 x m 2 m . 2/ Chứng minh rằng với mọi m , d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt A và B. 2 2 3/ Ký hiệu xAB; x là hoành độ của điểm A và điểm B. Tìm m sao cho xAB x 14. Bài 7. Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình: y ( m 1) x n . 1) Với giá trị nào của m và n thì d song song với trục Ox . 2) Xác định phương trình của d , biết d đi qua điểm A 1; 1 và có hệ số góc bằng 3. Bài 8. Cho hai đường thẳng d : y x m 2 và d' : y m2 2 x 1 1) Khi m 2, tìm toạ độ giao điểm của chúng. 2) Tìm m để d song song với d ' 5 Bài 9. Tìm m để đường thẳng y 3 x 6 và đường thẳng y x 2 m 1 cắt nhau tại 2 một điểm nằm trên trục hoành. Bài 10. Cho hàm số y 2 m 1 x m 2 1) Tìm m để hàm số nghịch biến trên . 2) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua A 1;2 Bài 11. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , với giá trị nào của a, b thì đường thẳng d : y ax 2 b và đường thẳng d' : y 3 a x b song song với nhau. Bài 12. Tìm tất cả các giá trị của m để 3 đường thẳng 3x 2 y 4; 2 x y m và x 2 y 3 đồng quy Bài 13. Biết đồ thị của hàm số y (2 m 1) x2 đi qua điểm M 2; 1 1) Xác định giá trị của m . Vẽ đồ thị hàm số trên với giá trị m vừa tìm được? 2) Xác định tính đồng biến và nghịch biến của hàm số khi đó? Bài 14. Cho hàm số y ax2. 1) Xác định a , biết rằng đồ thị hàm số y ax2 cắt đường thẳng y x 4 tại điểm A có hoành độ là 4. 2) Với a tìm được, hãy vẽ đồ thị hàm số y ax2 và y x 4 trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Bài 15. Cho parabol P y x2 và đường thẳng (d) có hàm số y 2( m 1) x m2 3 1) Khi m 2 . Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ. 2) Tìm m để đường thẳng d tiếp xúc với parabol P . 18
19. Bài 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol P có phương trình y x2 và đường thẳng d có phương trình y 2 x m 1) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và parabol P khi m 3 2) Tìm giá trị của m để d cắt P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x 2 thỏa mãn 2 2 hệ thức x1 x 2 6 Bài 17. Cho parabol P : y x2 và đường thẳng d : y mx 4 ( m là tham số) 1) Chứng tỏ rằng: với mọi m đường thẳng d luôn cắt P tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung 2) Gọi x1; y 1 và x2; y 2 là tọa độ giao điểm của P và d , tìm m để: x1 y 2 1 x 2 y 1 1 6 Bài 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol P : y x2 và đường thẳng (d) : y 3 x m 1 ( m là tham số) 1) Tìm m để P và d tiếp xúc với nhau. Tìm tọa độ tiếp điểm của chúng. 2) Khi (d) và P cắt nhau tại hai điểm phân biệt, gọi hoành độ giao điểm của d và P là xA và xB . Tìm m để xAB 2 x Bài 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol y x2 P và đường thẳng y 2 x 4 d 1) Chứng minh d và P luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt 2) Gọi x1, x 2 là hoành độ giao điểm của d và P . Tính giá trị của biểu thức A x1 x 2 x 1 x 2 Bài 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol P y 2 x2 và một điểm M nằm trên P . Biết rằng điểm M có tung độ bằng 8 và ở phía bên trái trục Oy . Hãy tìm tọa độ điểm M và viết phương trình đường thẳng OM. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A. Tóm tắt lý thuyết I. Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax2 bx c 0 trong đó x là ẩn a,b,c là những số cho trước gọi là các hệ số và a 0 II. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai Phương trình bậc hai ax2 bx c 0( a 0) , b2 4 ac b b + Nếu 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt : x ; x 12a 2 2 a b + Nếu 0 phương trình có nghiệm kép : x x 1 2 2a + Nếu 0 phương trình vô nghiệm. III. Công thức nghiệm thu gọn : Phương trình bậc hai ax2 bx c 0( a 0) và b 2 b ', '' b2 ac + Nếu ' 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt : 19
20. b'''' b x ; x 1a 2 a + Nếu ' 0 phương trình có nghiệm kép : b' x x 1 2 a + Nếu ' 0 phương trình vô nghiệm. IV. Hệ thức Viet và ứng dụng 2 1. Nếu x1; x 2 là hai nghiệm của phương trình ax bx c 0( a 0) thì : b x x 1 2 a c x x 1 2 a 2. Muốn tìm hai số u và v , biết u v S; uv P , ta giải phương trình x2 Sx P 0 (Điều kiện để có u và v là SP2 4 0) c 3. Nếu a b c 0 thì phương trình ax2 bx c 0( a 0) có hai nghiệm : x 1; x 1 2 a Nếu a b c 0 thì phương trình ax2 bx c 0( a 0) có hai nghiệm : c x 1; x 1 2 a V. Một số quy tắc, phép biến đổi - Quy tắc nhân, chia đa thức. - Hằng đẳng thức đáng nhớ. - Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. - Phương pháp quy đồng mẫu thức của hai hay nhiều phân thức. Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia các phân thức đại số. - Quy tắc biến đổi phương trình, bất phương trình. - Khái niệm căn bậc hai và các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai. - Phương pháp giải hệ phương trình. B. BÀI TẬP I. Phương trình bậc hai không có tham số 1. Phương trình bậc hai dạng khuyết a) Phương trình bậc hai khuyết hạng tử bậc nhất Phương pháp giải : - Chuyển hạng tử tự do sang vế phải. - Chia cả hai vế cho hệ số bậc hai đưa về dạng: x2 a +) a > 0 phương trình có nghiệm x a +) a = 0 phương trình có nghiệm x = 0 +) a < 0 phương trình vô nghiệm Ví dụ: Giải phương trình: 2x2 8 0 2x2 8 0 2 x 2 8 x 2 4 x 2 Vậy phương trình có nghiệm x 2 b) Phương trình bậc hai khuyết hạng tử tự do 20